Трансцендентность

История

Название «трансцендентальный» происходит от латинского transcendĕre «перелезать через или за пределы, преодолевать» и впервые было использовано для математической концепции в статье Лейбница 1682 года, в которой он доказал, что sin x не является алгебраической функцией от x . Эйлер в 18 веке, вероятно, был первым, кто определил трансцендентные числа в современном смысле этого слова.

Иоганн Генрих Ламберт предположил , что е и π был оба числа трансцендентных в своем 1768 бумаге доказав число π является иррациональным , и предложил предварительный набросок доказательства π «s трансцендентности.

Джозеф Лиувилль впервые доказал существование трансцендентных чисел в 1844 году, а в 1851 году привел первые десятичные примеры, такие как постоянная Лиувилля.

Lбзнак равно∑пзнак равно1∞10-п!знак равно10-1+10-2+10-6+10-24+10-120+10-720+10-5040+10-40320+…знак равно11000100000000000000000100000000000000000000000000000000000000000000000000000…{\ displaystyle {\ begin {align} L_ {b} & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 10 ^ {- n!} \\ & = 10 ^ {- 1} +10 ^ {- 2} +10 ^ {- 6} +10 ^ {- 24} +10 ^ {- 120} +10 ^ {- 720} +10 ^ {- 5040} +10 ^ {- 40320} + \ ldots \\ & = 0. {\ Textbf {1}} {\ textbf {1}} 000 {\ textbf {1}} 00000000000000000 {\ textbf {1}} 0000000000000000000000000000000000000000000000000 \ ldots \\\ конец {выровнено}}}

в котором n- я цифра после десятичной точки равна 1, если n равно k ! ( k факториал ) для некоторого k и 0 в противном случае. Другими словами, n- я цифра этого числа равна 1, только если n — одно из чисел 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24 и т. Д. Лиувилль показал, что это число принадлежит к классу трансцендентных чисел, которые можно более точно аппроксимировать рациональными числами, чем любое иррациональное алгебраическое число, и этот класс чисел называется числами Лиувилля , названными в его честь. Лиувилль показал, что все числа Лиувилля трансцендентны.

Первым числом, которое было доказано как трансцендентное, не будучи специально построенным с целью доказательства существования трансцендентных чисел, было число e , написанное Чарльзом Эрмитом в 1873 году.

В 1874 году Георг Кантор доказал, что алгебраические числа счетны, а действительные числа несчетны. Он также дал новый метод построения трансцендентных чисел. Хотя это уже подразумевалось в его доказательстве счетности алгебраических чисел, Кантор также опубликовал конструкцию, которая доказывает, что существует столько же трансцендентных чисел, сколько существует действительных чисел. Работа Кантора установила повсеместное распространение трансцендентных чисел.

В 1882 году Фердинанд фон Линдеманн опубликовал первое полное доказательство трансцендентности π . Сначала он доказал, что e a трансцендентно, если a — ненулевое алгебраическое число. Тогда, поскольку e i π = −1 является алгебраическим (см . Тождество Эйлера ), i π должно быть трансцендентным. Но поскольку i алгебраическое, значит , π должно быть трансцендентным. Этот подход был обобщен Карлом Вейерштрассом до того, что сейчас известно как теорема Линдеманна – Вейерштрасса . Трансцендентность числа π позволила доказать невозможность нескольких древних геометрических построений с использованием циркуля и линейки , в том числе самого известного — квадрата круга .

В 1900 году Дэвид Гильберт задал важный вопрос о трансцендентных числах, седьмую проблему Гильберта : если a — алгебраическое число, отличное от нуля или единицы, а b — иррациональное алгебраическое число , обязательно ли b трансцендентно? Утвердительный ответ был дан в 1934 г. теоремой Гельфонда – Шнайдера . Эта работа была расширена Аланом Бейкером в 1960-х годах в его работе по оценке снизу линейных форм от любого числа логарифмов (алгебраических чисел).

Числа оказались трансцендентными

Числа оказались трансцендентными:

• е еслиявляетсяалгебраическими отличнануля (потеореме Линдемана-Вейерштрасса).
• π (по теореме Линдемана – Вейерштрасса ).
• e π , постоянная Гельфонда , а также e — π / 2 = i i (по теореме Гельфонда – Шнайдера ).
• a b, где a алгебраическое, но не 0 или 1, а b иррационально алгебраическое (по теореме Гельфонда – Шнайдера), в частности:

2 √ 2 , постоянная Гельфонда – Шнайдера (или число Гильберта)

• sin a , cos a , tan a , csc a , sec a и cot a , а также их гиперболические аналоги для любого ненулевого алгебраического числа a , выраженного в радианах (по теореме Линдемана – Вейерштрасса).
• функции косинуса (также именуемой Dottie номером г ) — единственное реальное решение уравнения соз х = х , где х находится в радианах (по теореме Линдемана-Вейерштрасса).
• ln a, если a алгебраическое и не равно 0 или 1, для любой ветви логарифмической функции (по теореме Линдемана – Вейерштрасса).
• log _b a, если a и b — натуральные числа, а не обе степени одного и того же целого числа (по теореме Гельфонда – Шнайдера).
• W ()еслиалгебраичен инуля, для любой ветви функции Ламберта W (по теореме Линдемана-Вейерштрасса), в частности:Ωомега постоянная
• √ x _s , любого натурального числа является либо целым, либо трансцендентным (по теореме Гельфонда-Шнайдера)
• Γ (1/3) , Γ (1/4) и Γ (1/6) .
• 0,64341054629 …, постоянная Кахена .
• Константы Чамперноуна , иррациональные числа, образованные путем конкатенации представлений всех положительных целых чисел.
• Ω , постоянная Чейтина (поскольку это невычислимое число).
• Так называемые константы Фредгольма, такие как

  ∑пзнак равно∞10-2пзнак равно111000100000001…{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 10 ^ {- 2 ^ {n}} = 0. {\ textbf {1}} {\ textbf {1}} 0 {\ textbf {1} } 000 {\ textbf {1}} 0000000 {\ textbf {1}} \ ldots}

которое также выполняется при замене 10 любым алгебраическим b > 1 .

• Постоянная Гаусса .
• Две константы лемнискаты L ₁ (иногда обозначаются как ϖ ) и L ₂ .
• Вышеупомянутая константа Лиувилля для любого алгебраического b ∈ (0, 1) .
• Постоянная Пруэ – Туэ – Морса .
• Постоянная Коморника-Лорети.
• Любое число, для которого цифры относительно некоторого фиксированного основания образуют слово Штурма .
• Для β > 1

∑kзнак равно∞10-⌊βk⌋;{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} 10 ^ {- \ left \ lfloor \ beta ^ {k} \ right \ rfloor};}

где — функция пола .β↦⌊β⌋{\ Displaystyle \ бета \ mapsto \ lfloor \ beta \ rfloor}

• 3,300330000000000330033 … и обратное ему 0,30300000303 …, два числа только с двумя разными десятичными цифрами, ненулевые позиции которых задаются последовательностью Мозера – де Брюйна и ее двойником.
• Номер π2Д (2)J (2)- γ , где Y _α ( x ) и J _α ( x ) — функции Бесселя, а γ — постоянная Эйлера-Машерони .

Различия между трансцендентальный и трансцендентный

Трансцендентальное — по мнению философа Иммануила Канта, это касается предшествующих форм изучения (до опыта), не относится к предмету или содержанию познания. Например: время, пространство, причинность.

Трансцендентным, по мнению Канта, было всё то, что выходило за грань познания опытом.

Например, в системе Канта трансцендентными называются «вещи в себе» (или «вещь сама по себе»). Так Иммануил Кант обозначал вещи непознаваемыми — они существуют сами по себе, независимо от того, чем они являются для нас.

Немецкий философ Иммануил Кант (1724–1804)

Трансцендентальным Кант называет всё то, что относится к априорным условиям опыта, вдобавок те знания, которые могут выйти из этого опыта.

В своих трудах Кант называет трансцендентальным всякое познание, которое появляется больше из изучения видов познания предметов, чем самих предметов. И это познание возможно лишь до опыта.

Трансцендентально — всё то, что является частью опыта и делает возможным его эмпирическое познание. Трансцендентно — всё то, что выходит за рамки опыта.

Трансцендентальное — это как противоположность трансцендентному.

У Канта

Термин «трансцендентный» употреблялся в философии Канта для характеристики ноуменов, то есть вещей-в-себе, которые хоть и проявляются в мире феноменов в виде известных нам явлений, не могут тем не менее сами быть восприняты в чувственном (эмпирическом) опыте, об их существовании мы узнаём лишь умозрительно, то есть не опытным путём. Таким образом, Кантом утверждается принципиальная непознаваемость мира: познанию доступны лишь явления, но нет никакой возможности узнать, что же лежит в их основе, чем являются вещи-сами-по-себе (они же — вещи-в-себе) на самом деле.

Близким к трансцендентному понятием, которое, тем не менее, важно от него отличать, является понятие трансцендентального. Изначально оно характеризовало область отвлечённых умственных категорий (таких как вещь, сущее, истина, добро и т. п.), а позже было развито Кантом, который стал так называть то, что изначально присуще сознанию: не приобретено в процессе опыта, а, напротив, обусловливает и определяет возможность всякого опыта, то есть является своеобразной «сверхопытной данностью», данной человеку особым априорным (то есть «прежде всякого опыта») образом

Кант изначально отказывался принимать какой-либо другой источник опыта, кроме эмпирического; когда он пришёл к заключению, что построить философскую систему лишь на опытных данных невозможно, ему пришлось допустить, что есть нечто доступное познанию человека, хотя и не являющееся предметом опыта: априорные формы восприятия (пространство и время), трансцендентально-логические категории, идеи Бога, бессмертия души, добра (см. категорический императив), красоты и др.

В религии

Трансцендентность (выход за рамки или превышение границ) и противоположное ему понятие имманентность (существование в пределах границ) — два ключевых понятия, которые используют богословы и философы для описания божественного; каждое из них предназначено для выражения связи между божественным и конечной реальностью.

Под трансцендентностью подразумевается представление, согласно которому божественное лежит за пределами человечества и мира, при этом оно рассматривается как отличное от обоих и не полностью тождественное ни тому, ни другому; под имманентностью подразумевается, что божественное полностью или частично тождественно какой-то реальности в мире, например, человечеству или космическому порядку. Крайность имманентности — представление о божественном как о безличном священном порядке, полностью существующем в границах мира. Крайность трансцендентности — представление о божественном как о личности (Боге или божественной сущности в себе), при этом Бог воспринимается как не тождественный ни миру, ни какой-либо конечной реальности этого мира.

Некоторые мыслители описывают божественное как полностью трансцендентное, то есть «полностью иное», чем конечная реальность; некоторые утверждают полную имманентность божественного; существует также трансцендентно-имманентная интерпретация, согласно которой оба понятия не исключают друг друга, поскольку божественные принципы реализуются «в мире» (например, двойственная природа Богочеловека).

использованная литература

• Бланшар, Андре; Мендес Франция, Мишель (1982). «Симетрия и превосходство». Бюллетень математических наук . 106 (3): 325–335. Руководство по ремонту   .
• Бурбаки, Николас (1994). . Springer.
• Чудновский, Г.В. (1984). Вклад в теорию трансцендентных чисел . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-1500-7.
• Гельфонд, Александр (1960) . Трансцендентные и алгебраические числа . Дувр.
• Хиггинс, Питер М. (2008). Номерная история . Книги Коперника. ISBN 978-1-84800-001-8.
• Ламберт, Иоганн Генрих (1768). «Mémoire sur quelques propriétés remarquables des Quantités transcendantes, circaires et logarithmiques». Mémoires de l’Académie Royale des Sciences de Berlin : 265–322.
• Ле Лионне, Франсуа (1979). Les nombres remarquables . Германн. ISBN 2-7056-1407-9.
• Левек, Уильям Дж. (2002) . . Дувр. ISBN 978-0-486-42539-9.
• Малер, Курт (1937). «Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen». Proc. Конин. Недер. Акад. Влажный. Сер. А. (40): 421–428.
• Натараджан, Сарадха ; Тангадурай, Равиндранатан (2020). Столпы трансцендентальной теории чисел . Springer Verlag . ISBN 978-981-15-4154-4.
• Шаллит, Джеффри (1999). «Теория чисел и формальные языки». In Hejhal, Dennis A .; Фридман, Джоэл; Гуцвиллер, Мартин К .; Одлызко, Эндрю М. (ред.). Новые приложения теории чисел. На основе трудов летней программы IMA, Миннеаполис, штат Миннесота, США, июль 15-26, 1996 . Объемы IMA по математике и ее приложениям. 109 . Springer . С. 547–570. ISBN 978-0-387-98824-5.

Трансцендентные и имманентные причины и действия

В схоластике (средневековая христианская философия, которая стремилась обосновать религиозные догматы) различали имманентные и трансцендентные причины и действия. Имманентные случаются в самих объектах, трансцендентные существуют за гранью их реального бытия.

Трансцендентность и имманентность Бога

На первый взгляд трансцендентность и имманентность противоречат друг другу. Однако, если вдуматься в оба понятия и идею Бога, можно понять смысл этого выражения.

Трансцендентное — это то, что находится за пределами восприятия, независимо от Вселенной. И если сравнивать, это совершенно от нас отличается. В противовес этому существует понятие «имманентный Бог» — это тот, который существует внутри нас, внутри Вселенной и т. д. Что означает, что Он является частью нашего существования.